神奇的alevel统计学：泊松分布与指数分布

统计学是ALevel数学中的一个重要内容，这一学科之所以如此重要，因为统计学涉及到了对数据的处理，几乎绝大部分的前沿科技都会应用到统计学，包括目前在科技领域最热门的人工智能、数据挖掘、机器学习等等。2011年度的诺贝尔经济学奖获得者Thomas J. Sargent近日甚至在世界科技创新论坛上表示，人工智能其实就是统计学，只不过用了一个很华丽的辞藻，其实就是统计学，所有的人工智能利用的都是统计学来解决问题。

　　今天国际的欧老师将为大家介绍统计学中的两个重要的概率分布：泊松分布和指数分布。

泊松分布(Poisson Distribution)

日常生活中，大量事件是有固定频率的。    

某医院平均每小时出生3个婴儿    

某公司平均每10分钟接到1个电话    

某超市平均每天销售4包xx牌奶粉    

某网站平均每分钟有2次访问、前端    

▶它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？  

▶有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

▶上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

▶接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

▶泊松分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

指数分布(Exponential Distribution)  

指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。    

婴儿出生的时间间隔    

来电的时间间隔    

奶粉销售的时间间隔    

网站访问的时间间隔    

▶指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

▶反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。

▶接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。

▶接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。

▶指数分布的图形大概是下面的样子。  

▶可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？

总结

一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

请注意是”独立事件”，泊松分布和指数分布的前提是，事件之间不能有关联，否则就不能运用上面的公式。